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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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9. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
b) $f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$

Respuesta

Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.



1. Calculemos el dominio de la función. \( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con \( x \). $ (x - 1)^2 \neq 0 $

$ x - 1 \neq |0| $
 
$ x - 1 \neq 0 $ \( x \neq 1 \) \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{1\} \)

2. Hallamos la derivada de la función $f(x) = \frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}$
$ f'(x) = \frac{(3x^2)(x-1)^2 - x^3(2)(x-1)}{(x-1)^4} $
Simplificamos un poco la expresión (porque después va a ser más fácil hacer Bolzano):
$ f'(x) = \frac{3x^2(x-1)^2 - 2x^3(x-1)}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 2x + 1) - 2x^4 + 2x^3}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{3x^4 - 6x^3 + 3x^2 - 2x^4 + 2x^3}{(x-1)^4} $
$ f'(x) = \frac{x^4 - 4x^3 + 3x^2}{(x-1)^4} $

3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas: El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re - \{1\} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero: Igualamos la derivada a cero:
$ x^4 - 4x^3 + 3x^2 = 0 $
Factorizamos sacando factor común $x^2$:
$ x^2(x^2 - 4x + 3) = 0 $
$ x^2(x - 1)(x - 3) = 0 $
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 1 $ (pero la función no está definida aca, este valor no pertenece al dominio, o sea que no es un PC) $ x_3 = 3 $

4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{(-1)^4 - 4(-1)^3 + 3(-1)^2}{((-1)-1)^4} = \frac{1 + 4 + 3}{16} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = \frac{(0,5)^4 - 4(0,5)^3 + 3(0,5)^2}{((0,5)-1)^4} = \frac{0,0625 - 0,5 + 0,75}{0,0625} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, 3) \): \( f'(2) = \frac{(2)^4 - 4(2)^3 + 3(2)^2}{((2)-1)^4} = \frac{16 - 32 + 12}{1} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (3, +\infty) \): \( f'(4) = \frac{(4)^4 - 4(4)^3 + 3(4)^2}{((4)-1)^4} = \frac{256 - 256 + 48}{81} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 3 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
 
-> \( x = 3 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.


-> \( x = 0 \): Es un punto de inflexión ya que \( f'(x) \) pasa de postivo a positivo. (Si no recordás esto andá a ver el video)

Podemos hallar las coordenadas del máximo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):

$ f(3) = \frac{3^3}{(3-1)^2} = \frac{27}{4} = 6,75 $ ¡Pero dejalo escrito en fracción eh!
6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical: Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \) ya que la función no está definida en ese punto y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 1. Si te animás planteálos límites en comentarios👇
6.2 Asíntota horizontal:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(x-1)^2} = \frac{\infty}{\infty}$

Salvamos la indeterminación y nos queda: 
 
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2-2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3 (\frac{x^2}{x^3} - \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x^2}{x^3} - \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac {1}{\rightarrow 0} = \infty$


Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.

Respuesta: Dominio: \( \mathbb{R} - \{1\} \) Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, +\infty) \) ⚠️ En las respuestas de la guía dice otra cosa, pero es un error

Intervalo de decrecimiento: \( (1, 3) \) ⚠️ En las respuestas de la guía dice otra cosa, pero es un error
  Asíntota vertical: \( x = 1 \) No hay asíntota horizontal. No hay máximo relativo. ⚠️ En las respuestas de la guía dicen que sí, pero es un error
Mínimo relativo en \( x = 3 \) con coordenada \( (3, \frac{27}{4}) \)




El gráfico te quedaría así:


2024-05-27%2013:12:52_7420118.png
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Avatar Magdalena 5 de junio 12:28
holaaa, el max relativo no podria ser 1? donde cambia

Avatar Julieta Profesor 6 de junio 14:47
@Magdalena Hola Magda! Noo! Porque ahí la función no existe, hay una asíntota :D
Avatar Magdalena 9 de junio 15:28
@Julieta aaahaha claroo q bolu, graciass

Avatar Blas 28 de febrero 22:16
llim x-> 1+ f(x) = (1,001)^3/(1,001-1)^2 =+∞ 
Ergo, tiene asíntota vertical por derecha
lim x-> 1- f(x) = (0,999)^3/(0,999-1)^2 =+∞ 
Ergo, tiene asíntota vertical por izquierda
Avatar Julieta Profesor 4 de marzo 11:16
@Blas ¡Excelente! Eso se reduce en que el límite de f cuando x tiende a 1 da + inifnito. Es decir, hay AV en x=1.
Avatar Blas 5 de marzo 20:21
@Julieta gracias profe!
Avatar Candelaria 1 de noviembre 13:35
El Dominio de f siempre es igual al de la derivada? No encuentro ejemplos en los que no sean iguales. Podrías pasarme uno? Porfi y gracias! :)
Avatar Julieta Profesor 4 de noviembre 15:29
@Candelaria La derivada parte de una función original. O sea, la que marca la posta es la original. La derivada puede no admitir algún valor en su dominio que la función original sí tenga. Es raro pero puede pasar. Van dos ejemplos: 

Ejemplo 1: 

$f(x) = x^{\frac{2}{3}}$

$f'(x) = \dfrac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$


Dominio de $f(x)$: Todos los números reales, $(-\infty, \infty)$.

Dominio de la derivada de $f'(x)$: Todos los números reales excepto en $x = 0$, ya que $x^{-\frac{1}{3}}$ no está definido en $x = 0$.


Ejemplo 2: 

$f(x) = \sqrt{x}

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Dominio de $f(x)$: $[0, \infty)$.

Dominio de la derivada de $f'(x)$:  $(0, \infty)$, ya que la derivada no está definida en $x = 0$ debido a la división por cero.


En estos ejemplos la función está definida en un dominio más amplio que su derivada. 
Avatar Candelaria 5 de noviembre 16:36
@Julieta No entiendo entonces como utilizarlo para bolzano ni la relación con las asíntotas :(
En que afecta esto en los puntos críticos?
Avatar Tatiana 29 de octubre 21:47
hola profe, todo bien? no entiendo por qué no hay máximo relativo si en el intervalo de bolzano (1;3) decrece y en (3;+infinito) crece. No habría un punto máximo ahí? muchas gracias
Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 11:56
@Tatiana Hola! No, porque los máximos son los puntos donde la función crece y después decrece. Mirá la gráfica, un máximo tiene forma de "loma". Y ahí tenés un mínimo, un "pozo".
Avatar Mallo 28 de octubre 19:57
hola profe, como estas? cuando hacemos bolzano el 1 no seria un punto maximo? 
Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 13:03
@Mallo Hola!! Bien y vos? Noooo, porque en 1 la función no existe. Acordate que no pertenece al dominio
Avatar Candelaria 1 de noviembre 13:56
@Julieta Y no sería lo mismo no incluír el dominio para hacer bolzano y ya?
Avatar Abigail 23 de octubre 13:53
profe, que es lo que hace par que la derivada quede 3x a la 2 x (x a la 2-2x+1) en el primer termino, y cuando se puede sumar o restar potencias profe? si tengo= x a la 4 - x a la 3, se puede restar eso o como hago?
Avatar Julieta Profesor 24 de octubre 10:48
@Abigail para que sea más claro voy a reescribir ese pedacito, de la misma forma en que lo escribirías en una calcu así queda claro para quienes leen este comentario y también para vos al momento de escribir las cuentas jeje: para escribir una potencia usamos el símbolo "^" y para productos usamos el "." (sino se confunde con la x) 😉

Ahora sí! Aclarado eso, vamos con lo que preguntabas: 

Analizando el primer término del numerador de la derivada, vemos que pasamos de esto:

3x^2 . (x-1)^2  

A esto: 

3x^2 . (x^2 - 2x + 1) 


Lo hice simplemente aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio, esto lo vemos en el video de expresiones algebraicas de la primera unidad del curso. 

Para sumar y restar potencias te recomiendo mirar el video de potenciación, volver a ver esos videos ahora que ya avanzaste tanto te va a ayudar muchísimo a comprender cómo hacer las cuentas. Parece un retroceso pero no lo es, es la clave para mejorar en tus cuentas, porque veo todo lo que estás avanzando en tus razonamientos Abi, es cuestión de seguir puliendo las operaciones de cuentas. ¡Venís muy bien! 🙌

Ahí vas a ver que x^4 - x^3 no pueden operarse, son peras y manzanas. Pero sí se estuviesen dividiendo, sí podrías restar los exponentes. O si se estuviesen multiplicando, sí podrías sumar los exponentes. Ya que en ambos casos son operaciones de producto o división de potencias de igual base, peeeero como te dije, mejor darle una repasadita a esos videos.

Avatar Abigail 27 de octubre 14:46
@Julieta gracias profe por su delicadeza y paciencia, sos la mejor profe que tuve en mi lapso de estudio.  graciass <3
Avatar Cami 21 de octubre 00:50
profe, no entiendo como llegas a x*3 sobre x*2 en la AH
Avatar Julieta Profesor 23 de octubre 13:01
@Cami Hola, haciendo la resta de los exponentes. Cuando tenés una división de potencias de igual base se restan los exponentes. Y cuando tenés un producto de potencias de igual base se suman los exponentes. Esto lo explico en el video de potenciación al comienzo del curso :)
Avatar Leo 31 de mayo 17:22
Holaaa :D perdón que pregunte, no entendi muy bien que es un punto de inflexión ¿Podría explicarme? <3
Avatar Julieta Profesor 5 de junio 16:44
@Leo Hola Leo ¿Cómo estás? No lo vemos en esta materia pero es cuando la función crece, se plancha y vuelve a crecer, o lo mismo pero decreciendo: decrece, se plancha y decrece. Podés ver la explicación en el video de estudio de funciones con la derivada
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